مرحله 1: درک عملکرد Sinc

تابع sinc که مخفف sin(x)/x است، یک تابع ریاضی است که به طور گسترده در زمینه های مختلفی مانند پردازش سیگنال، پردازش تصویر و تجزیه و تحلیل داده ها استفاده می شود. یک تابع پیوسته است که به صورت زیر تعریف می شود:

sinc(x)=sin(x)xمرحله 2: دامنه ادغام را شناسایی کنید

قبل از ادغام تابع sinc، شناسایی دامنه ادغام مهم است. تابع sinc برای همه x∈ℝ تعریف شده است، اما بیشتر برای x≥0 استفاده می شود.

مرحله 3: از تعریف تابع Sinc استفاده کنید

برای ادغام تابع sinc، می توانیم از تعریف آن استفاده کنیم:

∫0∞sin(x)xdxمرحله ۴: از هویت مثلثاتی استفاده کنید

ما می توانیم انتگرال را با استفاده از هویت مثلثاتی sin(x)=eix−e−ix2i ساده کنیم:

∫0∞sin(x)xdx=∫0∞eix−e−ix2ixdxمرحله 5: از نظریه تابع مختلط استفاده کنید

انتگرال را می توان به عنوان یک تابع مختلط بیان کرد و می توانیم از نظریه تابع مختلط برای ارزیابی انتگرال استفاده کنیم:

∫0∞eix−e−ix2ixdx=∫0∞eix−e−ix2idxمرحله ۶: از قضیه باقی مانده استفاده کنید

انتگرال را می توان با استفاده از قضیه باقیمانده ارزیابی کرد، که بیان می کند انتگرال یک تابع پیچیده در اطراف یک کانتور بسته برابر است با مجموع باقی مانده های تابع در قطب های داخل کانتور:

∫0∞eix−e−ix2idx=2πi∑n=1∞Res(f(z),n)مرحله ۷: قطب ها را پیدا کنید

تابع eix−e−ix2i دارای قطب‌های ساده z=nπi برای n∈ℤ، n≥1 است.

مرحله 8: باقیمانده ها را ارزیابی کنید

باقیمانده تابع در z=nπi به صورت زیر بدست می آید:

Res(f(z),n)=1neinπi−1einπi+1مرحله 9: ساده سازی عبارت

می‌توانیم بیان باقیمانده را با استفاده از این واقعیت که einπi=cos(nπ)+isin(nπ) ساده کنیم:

Res(f(z),n)=1ncos(nπ)-1cos(nπ)+1مرحله 10: انتگرال را ارزیابی کنید

اکنون می‌توانیم انتگرال را با جمع کردن باقیمانده‌ها ارزیابی کنیم:

∫0∞sin(x)xdx=2πi∑n=1∞1ncos(nπ)−1cos(nπ)+1مرحله 11: ساده کردن عبارت

ما می توانیم عبارت را با استفاده از این واقعیت که cos(nπ)=±1 برای n فرد و cos(nπ)=0 برای n زوج ساده کنیم:

∫0∞sin(x)xdx=2πi∑n=1∞1n1−11+1=2πi∑n=1∞1nمرحله ۱۲: بیان نهایی را ارزیابی کنید

عبارت نهایی یک سری هندسی است که می توان آن را به صورت زیر ارزیابی کرد:

∫0∞sin(x)xdx=2πi∑n=1∞1n=2πi111213⋯=π2